Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的最大值；

（2）證明:對(duì)任意的,都有；

（3）設(shè),比較與的大小,并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】分析：（1）判斷出函數(shù)的單調(diào)性，然后可求得最大值．（2）由（1）得．設(shè)，轉(zhuǎn)化為證明即可，根據(jù)的單調(diào)性可得結(jié)論成立．（3）由條件得，且，由于，故只需比較與的大小．令，設(shè)，故只需證明即可，由函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論成立．

詳解：（1）由題意得，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴．

（2）由（1）得．

設(shè)，則，

故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故，

∴．

所以對(duì)任意的恒成立．

（3）由條件得，且，

∵，

∴，

故只需比較與的大小．

令，

設(shè)，

則.

因?yàn)?/span>，所以，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴．

∴對(duì)任意恒成立，

即，

∴．