Question

【題目】已知函數f（x）= ，g（x）=x2+2mx+
（1）用定義法證明f（x）在R上是增函數；
（2）求出所有滿足不等式f（2a﹣a2）+f（3）＞0的實數a構成的集合；
（3）對任意的實數x1∈[﹣1，1]，都存在一個實數x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）=g（x2），求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：f（x）的定義域為R，設x1、x2是R上任意兩個值，且x1＜x2，則 ，

∵x1＜x2，∴ ， ， ，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴f（x）在R上是增函數

（2）解：∵ ，∴f（x）在R上是奇函數，

∵f（2a﹣a2）+f（3）＞0，∴f（3）＞﹣f（2a﹣a2）=f（a2﹣2a），

又∵f（x）在R上是增函數，∴a2﹣2a＜3，

解得﹣1＜a＜3，∴所求實數a構成的集合為 {a|﹣1＜a＜3}

（3）解：∵f（x）在R上是增函數，∴當x1∈[﹣1，1]時，f（x1）∈[f（﹣1），f（1）]，即 ．

設g（x）在[﹣1，1]上的值域為B，則由題意可知AB．

∵ ，∴ ，解得 或 ，

①當 時，函數g（x）在[﹣1，1]上為減函數，所以 ；

由AB得 ，解得 ．

②當 時，函數g（x）在[﹣1，1]上為增函數，所以 ，

由AB得 ，解得 ．

綜上可知，實數m的取值范圍為 或

【解析】（1）設x1、x2是R上任意兩個值，且x1＜x2 ， 求得∴f（x1）﹣f（x2）＜0，可得f（x）在R上是增函數．（2）先證明f（x）為奇函數，不等式即f（3）＞﹣f（2a﹣a2）=f（a2﹣2a），再利用f（x）在R上是增函數 可得a2﹣2a＜3，由此求得a的范圍．（3）利用f（x）的單調性求得A，設g（x）在[﹣1，1]上的值域為B，則由題意可知AB，分類討論求得B，從而求得實數m的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對函數單調性的性質的理解，了解函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集．