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【題目】已知函數，其中為自然對數的底數.

（1）當時，討論函數的單調性；

（2）當時，求證：對任意的.

【答案】（1）在上是單調遞減的函數；（2）詳見解析．

【解析】試題分析：（1）求導，根據導函數的取值情況分析的單調性；（2）令，求導，分析其單調性，進而研究其取值情況，問題等價于證明即可得證..

試題解析：（1）當時，，，

，∵當時，，∴，∴在上是單調遞減的函數；（2）設，，，令，則，當時，，有，∴在上是減函數，即在上是減函數，

又∵，，∴存在唯一的，使得， ∴當時，，在區間單調遞增；

當時，，在區間單調遞減，因此在區間上

，

∵，∴，將其代入上式得

，

令，，則，即有，，

∵的對稱軸，∴函數在區間上是增函數，且，

∴，（），即任意，，∴，因此任意， .

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（2）當m=1時，求bn；
（3）設Sn為數列{an}的前n項和，若對于任意的正整數n，都有Sn∈[1，3]，求實數m的取值范圍．