Question

【題目】【2016高考山東理數】平面直角坐標系中，橢圓C： 的離心率是，拋物線E：的焦點F是C的一個頂點.

（I）求橢圓C的方程；

（II）設P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線與C交與不同的兩點A，B，線段AB的中點為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M.

（i）求證：點M在定直線上;

（ii）直線與y軸交于點G，記的面積為，的面積為，求 的最大值及取得最大值時點P的坐標.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）見解析；（ii）的最大值為，此時點的坐標為

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據橢圓的離心率和焦點求方程；（Ⅱ）（i）由點P的坐標和斜率設出直線l的方程和拋物線聯立，進而判斷點M在定直線上；（ii）分別列出，面積的表達式，根據二次函數求最值和此時點P的坐標.

試題解析：

（Ⅰ）由題意知，可得：.

因為拋物線的焦點為，所以，

所以橢圓C的方程為.

（Ⅱ）（i）設，由可得，

所以直線的斜率為，因此直線的方程為，即.

設，聯立方程

得，

由，得且，

因此,

將其代入得，

因為，所以直線方程為.

聯立方程，得點的縱坐標為，

即點在定直線上.

（ii）由（i）知直線方程為，

令得，所以，

又，

所以，

，所以，

令，則，

當，即時，取得最大值，此時，滿足，

所以點的坐標為，因此的最大值為，此時點的坐標為.