Question

【題目】已知函數，的在數集上都有定義，對于任意的，當時，或成立，則稱是數集上的限制函數.

（1）求在上的限制函數的解析式；

（2）證明：如果在區間上恒為正值，則在上是增函數；[注：如果在區間上恒為負值，則在區間上是減函數，此結論無需證明，可以直接應用]

（3）利用（2）的結論，求函數在上的單調區間.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）由題目給出的條件，構造，根據條件驗證可得所求函數；
（2）運用反證法，即可得證；
（3）求得，根據第二問結論由大于0，可得增區間；小于0，可得減區間．

解：（1）任意的，；

由于任意性：；

故構造；

由冪函數性質得在單調遞減，

且易得：，滿足題意，

故：；

（2）運用反證法，即假設在上不是增函數，
若在上是減函數，可得在區間上恒為負值；
若在上是常數函數，可得在區間上恒為零；

若在上是有增有減，可得在區間上可能為正可能為負；
這與在區間上恒為正值矛盾，故在上是增函數；

（3）任意的，當，

，

構造；

任取，，

，

，

故：，

是數集上的限制函數，

，解得

利用（2）結論，當函數單調遞增，

，解得

利用（2）結論，當函數單調遞減.