【題目】已知三棱錐
（如圖1）的平面展開圖（如圖2）中，四邊形
為邊長為
的正方形，△ABE和△BCF均為正三角形，在三棱錐
中：
(I)證明：平面
平面
;
(Ⅱ)求二面角
的余弦值；
(Ⅲ)若點
在棱
上，滿足
， 
，點
在棱
上，且
，求
的取值范圍．
【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）
;（Ⅲ）
.
【解析】試題分析：第一問取
中點
，根據等腰三角形的性質求得
，根據題中所給的邊長，利用勾股定理求得
，利用線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到結果；第二問根據題中所給的條件建立空間直角坐標系，寫出相應的點的坐標，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出結果；第三問利用向量間的關系，利用向量垂直的條件，利用向量的數量積等于0，得出所求的比值
與
的關系式，利用函數的有關知識求得結果.
（Ⅰ）方法1：
設
的中點為
，連接
， 
. 由題意
， 
， 
因為在
中， 
， 
為
的中點
所以
，
因為在
中， 
， 
， 
所以
因為
， 
平面
所以
平面
因為
平面
所以平面
平面
方法2：
設
的中點為
，連接
， 
.
因為在
中， 
， 
為
的中點
所以
，
因為
， 
， 
所以
≌
≌
所以
所以
因為
， 
平面
所以
平面
因為
平面
所以平面
平面
方法3：
設
的中點為
，連接
，因為在
中， 
，
所以
設
的中點
，連接
， 
及
.
因為在
中， 
， 
為
的中點
所以
.
因為在
中， 
， 
為
的中點
所以
.
因為
， 
平面
所以
平面
因為
平面
所以
因為
， 
平面
所以
平面
因為
平面
所以平面
平面
（Ⅱ）由
平面
， 
，如圖建立空間直角坐標系，則
， 
， 
， 
， 
由
平面
，故平面
的法向量為
由
， 
設平面
的法向量為
，則
由
得： 
令
，得
， 
，即
由二面角
是銳二面角，
所以二面角
的余弦值為
（Ⅲ）設
， 
，則
令
得
即
，μ是關于λ的單調遞增函數，
當
時， 
，
所以
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物,我國PM2.5標準采用世界衛生組織設定的最寬限值,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質量為一級;在35微克/立方米~75微克/立方米之間空氣質量為二級;在75微克/立方米及其以上空氣質量為超標.
某試點城市環保局從該市市區2016年全年每天的PM2.5監測數據中隨機抽取6天的數據作為樣本,監測值莖葉圖(十位為莖,個位為葉)如圖所示,若從這6天的數據中隨機抽出2天,
(1)求恰有一天空氣質量超標的概率;
(2)求至多有一天空氣質量超標的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，
的在數集
上都有定義，對于任意的
，當
時，
或
成立，則稱是數集上的限制函數.
（1）求
在
上的限制函數的解析式；
（2）證明：如果在區間
上恒為正值，則在
上是增函數；[注：如果在區間上恒為負值，則在區間上是減函數，此結論無需證明，可以直接應用]
（3）利用（2）的結論，求函數
在
上的單調區間.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
已知函數
為自然對數的底數）
（1）求
的單調區間，若
有最值，請求出最值；
（2）是否存在正常數
，使
的圖象有且只有一個公共點，且在該公共點處有共同的切線？若存在，求出的值，以及公共點坐標和公切線方程；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】只紅鈴蟲的產卵數y和溫度x有關，現收集了7組觀測數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值．
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27 | 81 | 3.6 | 152 | 2936 | 38 |
其中
（1）根據散點圖判斷，
與
（e為自然對數的底數
）哪一個更適宜作為紅鈴蟲的產卵數y和溫度x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（2）根據（1）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；
（3）根據（2）的結果，當溫度為37度時紅鈴蟲的產卵數y的預報值是多少？
參考公式：對于一組數據
，
，…，
，其線性回歸方程
的系數的最小二乘法估計值為
，
參考數據：
，
，
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