Question

在四棱錐P－ABCD中，AB∥DC，AB⊥平面PAD， PD＝AD，AB＝2DC，E是PB的中點(diǎn)．

求證：（1）CE∥平面PAD；
（2）平面PBC⊥平面PAB．

Answer 1

（1）詳見解析; （2）詳見解析．

試題分析：（1）要證明線面平行根據(jù)線面平行的判定定理可將問題轉(zhuǎn)化為證明平面外直線平行與平面內(nèi)一條直線，則此問題關(guān)鍵即為找出這條直線，又由題中所給：AB＝2DC，E是PB的中點(diǎn)，不難想到取PA的中點(diǎn)，進(jìn)而運(yùn)用三角形的中位線構(gòu)造平行關(guān)系，問題即可得證; （2）中要證明面面垂直由面面垂直的判定定理可知將問題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，結(jié)全題中所給條件和（1）中已證明的過程，不難發(fā)現(xiàn)可轉(zhuǎn)化為去證：平面PAB，再根據(jù)線面垂直的判定定理可轉(zhuǎn)化為證線線垂直：，，這樣問題即可得證．
試題解析：（1）取PA的中點(diǎn)F，連EF，DF．   2分
因?yàn)?i>E是PB的中點(diǎn)，所以EF // AB，且．
因?yàn)?i>AB∥CD，AB＝2DC，所以EF∥CD，      4分
，于是四邊形DCEF是平行四邊形，
從而CE∥DF，而平面PAD，平面PAD，
故CE∥平面PAD．                         7分
（2）因?yàn)?i>PD＝AD，且F是PA的中點(diǎn)，所以．
因?yàn)?i>AB⊥平面PAD，平面PAD，所以．                  10分
因?yàn)?i>CE∥DF，所以，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043304017539.png" style="vertical-align:middle;" />平面PAB，，所以平面PAB．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043304064423.png" style="vertical-align:middle;" />平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．                       14分