Question

如圖，三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面是邊長為2的正三角形且側棱垂直于底面，側棱長是，D是AC的中點．
 
（1）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求二面角A₁－BD－A的大小；
（3）求直線AB₁與平面A₁BD所成的角的正弦值．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）.

試題分析：（1）設AB₁與A₁B相交于點P，連接PD，則P為AB₁中點，根據中位線定理可知PD∥B₁C，
根據線面平行即可得證；（2）由于AA₁⊥底面ABC，且BD⊥AC，所以A₁D⊥BD，可知∠A₁DA就是二面角A₁-BD-A的平面角，在三角形A₁DA 中，tan∠A₁DA=，即可求出二面角的平面角為，即可求出二面角；（3）由（2）作AM⊥A₁D，M為垂足，由于BD⊥AC，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，可證BD⊥平面A₁ACC₁，即可BD⊥AM，可證明AM⊥平面A₁DB，連接MP，可知∠APM就是直線A₁B與平面A₁BD所成的角，在Rt△AA₁D中就可以求出∠APM的正弦值，進而求出結果.
解：（1）設AB₁與A₁B相交于點P，連接PD，則P為AB₁中點，
∵D為AC中點，∴PD∥B₁C，
又∵PD平面A₁BD，∴B₁C∥平面A₁BD；
（2）∵正三棱住ABC-A₁B₁C₁，∴AA₁⊥底面ABC，
又∵BD⊥AC，∴A₁D⊥BD，∴∠A₁DA就是二面角A₁-BD-A的平面角，
∵AA₁=，AD=AC=1，∴tan∠A₁DA=，∴∠A₁DA=，即二面角A₁-BD-A的大小是；
（3）由（2）作AM⊥A₁D，M為垂足，
∵BD⊥AC，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，∴BD⊥平面A₁ACC₁，
∵AM平面A₁ACC₁，∴BD⊥AM，
∵A₁D∩BD=D，∴AM⊥平面A₁DB，連接MP，
則∠APM就是直線A₁B與平面A₁BD所成的角，
∵AA₁=，AD=1，∴在Rt△AA₁D中，∠A₁DA=，∴AM=1×sin60°=，AP=AB₁=，∴sin∠APM=，∴直線AB₁與平面A₁BD所成的角的正弦值為.