Question

【題目】已知函數 ，函數f（x）的圖象記為曲線C．
（1）若函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增，求c的取值范圍；
（2）若函數y=f（x）﹣m有兩個零點α，β（α≠β），且x=α為f（x）的極值點，求2α+β的值；
（3）設曲線C在動點A（x0 ， f（x0））處的切線l1與C交于另一點B，在點B處的切線為l2 ， 兩切線的斜率分別為k1 ， k2 ， 是否存在實數c，使得 為定值？若存在，求出c的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解法一：（1）f'（x）=x2﹣2x+c，當x∈[0，+∞）時f'（x）=x2﹣2x+c≥0

所以（x2﹣2x+c）min≥0，而x2﹣2x+c在x=1處取得最小值，

所以1﹣2+c≥0，c≥1

解法二：（1）f'（x）=x2﹣2x+c，當x∈[0，+∞）時f'（x）=x2﹣2x+c≥0，

所以c≥﹣（x2﹣2x）對任意的x∈[0，+∞）恒成立，故c≥[﹣（x2﹣2x）]max，

即[﹣（x2﹣2x）]max=1，故c的取值范圍是[1，+∞）

（2）解法一：因為x=α為f（x）的極值點，

所以 ，所以c=﹣α2+2α，

又因為y=f（x）﹣m有不同的零點α，β，所以f（α）=f（β），

即 ，

整理得： ，

所以2α+β=3

解法二：因為x=α為f（x）的極值點，且y=f（x）﹣m有兩個零點α，β（α≠β），

所以f（x）﹣m=0的三個實數根分別為α，α，β，

由根與系數的關系得

（3）解法一：滿足條件的實數c存在，

由f'（x）=x2﹣2x+c，知過A（x0，f（x0））點與曲線相切的直線l1為：y=f'（x0）（x﹣x0）+f（x0），

且k1= ﹣2x0+c，

將y=f'（x0）（x﹣x0）+f（x0）與y=f（x）聯立即得B點得橫坐標，

所以f'（x0）（x﹣x0）+f（x0）=f（x）

即：

整理得： 由已知x≠x0，所以x+2x0﹣3=0

所以x=3﹣2x0，即B點的橫坐標為3﹣2x0所以過點B的曲線的切線斜率為：

= = =4k1+3﹣3c

因此當且僅當 3﹣3c=0時，k1、k1成比例，這時c=1

即存在實數c=1，使 為定值

解法二：滿足條件的實數c存在，因為f'（x）=x2﹣2x+c，

所以過A（x0，f（x0））點且與曲線C相切的直線l1為：

y=f'（x0）（x﹣x0）+f（x0），其中 ．

設l1與C交于另一點B（x1，y1），則x0，x0，x1必為方程f（x）=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0）的三個實數根，

由f（x）=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0）得 ，

因為上述方程的右邊不含三次項和二次項，

所以 ，所以x1=3﹣2x0，

所以 = = =4k1+3﹣3c．

因此當且僅當 3﹣3c=0時，k1、k1成比例，這時c=1，即存在實數c=1，使 為定值．

【解析】法一：（1）求出函數的導數，根據x=1是函數的最小值點，得到關于c的不等式，解出即可；（2）求出c=﹣α2+2α，根據f（α）=f（β）得： ，從而求出α和β的關系；（3）求出函數f（x）的導數，得到x+2x0﹣3=0，即B點的橫坐標為3﹣2x0所以過點B的曲線的切線斜率，根據k1 ， k2的值，作商即可．法二：（1）求出函數的導數，分離參數c，根據函數的單調性求出c的范圍即可；（2）根據根與關系判斷即可；（3）分別求出k1 ， k2的值，作商即可．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值即可以解答此題．