Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ax+ ，且f（x）+f（ ）=0，其中a，b為常數．
（1）若函數f（x）的圖象在x=1的切線經過點（2，5），求函數的解析式；
（2）已知0＜a＜1，求證：f（ ）＞0；
（3）當f（x）存在三個不同的零點時，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：在 中，取x=1得f（1）=0，∴f（1）=﹣a+b=0，∴a=b，

∵ ，∴f'（1）=1﹣a﹣b=1﹣2a，

∵f（x）的圖象在x=1的切線經過點（1，0），（2，5），∴k= ，

∴1﹣2a=5，得a=﹣2，

∴

（2）證明：

令 ，

則

∴x∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，

∴x∈（0，1）時，

故0＜a＜1時，f（ ）＞0

（3）解： ，

①當a≤0時，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）遞增，∴f（x）至多一個零點，不符題意；

②當 時，在（0，+∞）上，f′（x）≤0，f（x）遞減，∴f（x）至多一個零點，不符題意；

③當 時，令f′（x）=0，解得 ， ，

此時，f（x）在（0，x1）上遞減，在（x1，x2）上遞增，在（x2，+∞）上遞減，

∵x1＜1＜x2，∴f（x1）＜f（1）＜f（x2），即f（x1）＜0，f（x2）＞0，

∵ ，∴ ，使得f（x0）=0，

又∵ ，

∴f（x）恰有三個不同的零點：

綜上所述，a的取值范圍是

【解析】（1）利用賦值法，令x=1，得到f（1）=0，則切點為（1，0），從而可求出切線的斜率k=5，即f'（1）=5．由方程組 ，即可求出a，b的值；（2）將x= 待入f（x）的解析式，構造函數 ，通過求導可知g（x）在（0，1）上單調遞減，則g（x）＞g（1）=1﹣ln2＞0，即f（ ，對參數a進行分類討論，易知a≤0，或a≥ 時，f（x）至多一個零點，不符題意；當0＜a＜ 時，f（x）存在兩個極值點x1 ， x2 ， 通過零點存在定理可知，此時f（x）存在三個零點，滿足條件，故a的取值范圍是 ．