Question

【題目】棱長為1的正方體中，點、分別在線段、上運動（不包括線段端點），且.以下結論：①；②若點、分別為線段、的中點，則由線與確定的平面在正方體上的截面為等邊三角形；③四面體的體積的最大值為；④直線與直線的夾角為定值.其中正確的結論為______.（填序號）

Answer 1

【答案】① ② ③

【解析】

①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分別為E，F，可得四邊形MNEF是矩形，可得MN∥FE，利用AA1⊥面AC，可得結論成立；

②截面為△AB1C，為等邊三角形，故正確．

③設，則＝dM﹣BCN=，故③成立；

④設，當接近于0時，直線與直線的夾角接近于，當接近于1時，夾角接近于，故④不正確；

①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分別為E，F，∵AM＝BN，∴NE＝MF，∴四邊形MNEF是矩形，∴MN∥FE，∵AA1⊥面AC，EF面AC，∴AA1⊥EF，∴AA1⊥MN，故①正確；

②點M、N分別為線段AB1、BC1的中點，則由線MN與AB1確定的平面在正方體ABCD﹣A1B1C1D1 上的截面為△AB1C，為等邊三角形，故②正確．

③設，則＝dM﹣BCN，又AM=BN=,

∴=，dM﹣BCN =，∴＝dM﹣BCN=，當且僅當時取得最大值，故③成立；

④設，當接近于0時，直線與直線的夾角近似于直線和直線的夾角，接近于，當接近于1時，直線與直線的夾角近似于直線和直線的夾角，接近于，故④不正確；

綜上可知，正確的結論為①②③

故答案為：①②③