Question

【題目】橢圓：，其長軸是短軸的兩倍，以某短軸頂點和長軸頂點為端點的線段作為直徑的圓的周長為，直線與橢圓交于，兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作直線的垂線，垂足為.若，求點的軌跡方程；

（3）設直線，，的斜率分別為，，，其中且.設的面積為.以、為直徑的圓的面積分別為，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由題意知a＝2b，且，由此能求出橢圓方程．

（2）先考慮直線斜率存在時，設直線的方程為，和橢圓的方程聯立，結合向量的垂直關系即可找到找m，k的關系式，從而求得．再驗證斜率不存在時也滿足，則可得點的軌跡方程.

（3）設直線l的方程為y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），聯立，利用韋達定理、橢圓弦長公式結合已知條件能求出的取值范圍．

（1）由題可知，，且，解得：，，

故橢圓的方程為：.

（2）當直線斜率存在時，設直線的方程為，

由可得，由韋達定理有：

且

∵，∴，即

∴

由韋達定理代入化簡得：

∵垂直直線，∴

當直線斜率不存在時，設：，易求，此時

所以點的軌跡方程為.

（3）設直線的方程為，

由可得，由韋達定理有：

且

∵，∴，即

由韋達定理代入化簡得：.

∵，∴

此時，即.

故

又

為定值.

∴

∴當且僅當時等號成立.

綜上：.