Question

【題目】甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一次籃，先投中者獲勝．投籃進(jìn)行到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)結(jié)束．設(shè)甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，且各次投籃互不影響．現(xiàn)由甲先投．

（1）求甲獲勝的概率；

（2）求投籃結(jié)束時(shí)甲的投籃次數(shù)X的分布列與期望．

Answer 1

【答案】（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為

【解析】

試題分析：（1）本題考查互斥事件的概率，設(shè)甲第i次投中獲勝的事件為Ai （i＝1，2，3），則A1，A2，A3彼此互斥，分別計(jì)算出的概率（可用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式計(jì)算），然后相加即得；

（2）甲的投籃次數(shù)X的取舍分別1，2，3，注意這里事件含甲第次投中和第次投不中而接著乙投中，結(jié)合（1）的過程可很快求和各事件概率，從而得分布列，并依據(jù)期望公式可計(jì)算出期望值．

試題解析：（1）設(shè)甲第i次投中獲勝的事件為Ai（i＝1，2，3），則A1，A2，A3彼此互斥．

甲獲勝的事件為A1＋A2＋A3．

P（A1）＝；

P（A2）＝；

P（A3）＝（）2×（）2×＝．

所以P（A1＋A2＋A3）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＝＋＋＝．

答：甲獲勝的概率為．

（2）X所有可能取的值為1，2，3．

則 P（X＝1）＝＋×＝；

P（X＝2）＝＋×××＝；

P（X＝3）＝（）2×（）2×1＝．

即X的概率分布列為

X	1	2	3
P

所以X的數(shù)學(xué)期望E（X）＝1×＋2×＋3×＝．