Question

如圖，已知、、為不在同一直線上的三點，且，.

（1）求證：平面//平面；
（2）若平面，且，，，求證：平面；
（3）在（2）的條件下，設點為上的動點，求當取得最小值時的長.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

試題分析：（1）通過證明平行四邊形分別證明和，利用直線與平面平行的判定定理得到平面和平面，最后利用平面與平面平行的判定定理證明平面平面；（2）先證明平面，于是得到，由再由四邊形為正方形得到，最后利用直線與平面垂直的判定定理證明平面；（3）將三棱柱
的側面沿著展開，利用、、三點共線求出的最小值，并利用相似三角形求出的長度.
試題解析：（1）證明：且，四邊形是平行四邊形，，
面，面平面，
同理可得平面，又，平面平面；
（2）平面，平面，平面平面，
平面平面，
，，，，，平面，
，，，
又，得為正方形，，
又，平面；
（3）將三棱柱的側面繞側棱旋轉到與側面在同一平面內如下圖示，連結交于點，則由平面幾何的知識知，這時取得最小值，
，.