Question

【題目】定義在R上的函數f（x）滿足f（x）+f（x+5）=16，當x∈（﹣1，4]時，f（x）=x2﹣2x ， 則函數f（x）在區間[0，2016]上的零點個數是 ．

Answer 1

【答案】605
【解析】解：∵f（x）+f（x+5）=16， f（x+5）+f（x+10）=16，
兩式相減得，f（x）=f（x+10），
故f（x）為周期為10的函數，x∈（﹣1，9）時，
令f（x）=x2﹣2x=0得：x2=2x ，
在同一坐標系中作出y=x2與y=2x的圖象如下，

由圖知，當x∈（﹣1，4]時，函數f（x）=x2﹣2x有3個零點（y軸右側的兩個零點為2和4），
∵f’（x）=2x﹣2xln2，∴當x∈（4，9）時，f’（x）＜0，函數單調減，即無零點，
綜上：函數f（x）在一個周期內有三個零點，2016=10×201+6，
就是說在區間在[0，2016]上有201個完整周期，這201個周期內共603個零點，在[0，6]內有二個零點，
∴函數f（x）在[0，2016]上共有605個零點，
所以答案是：605．