Question

【題目】已知函數

（1）若是的極值點，求的極大值；

（2）求實數的范圍，使得恒成立.

Answer 1

【答案】（1）的極大值為；（2）時，恒成立.

【解析】試題分析：（1）由于x=2是f（x）的極值點，則f′（3）=0求出a，進而求出f′（x）＞0得到函數的增區間，求出f′（x）＜0得到函數的減區間，即可得到函數的極大值；

（2）由于f（x）≥1恒成立，即x＞0時，x2﹣（a+1）x+alnx≥0恒成立，設g（x）=x2﹣（a+1）x+alnx，求出函數的導數，分類討論參數a，得到函數g（x）的最小值≥0，即可得到a的范圍．

（1）

是的極值點，解得

當時，

當變化時，

的極大值為

（2）要使得恒成立，即時，恒成立，

設，則，

（ⅰ）當時，由得函數單調減區間為，由得函數單調增區間為，此時，得

（ⅱ）當時，由得函數單調減區間為，由得函數單調增區間為，此時不合題意.

（ⅲ）當時，在上單調遞增，此時不合題意

（ⅳ）當時，由得函數單調減區間為，由得函數單調增區間為，此時不合題意.

綜上所述：時，恒成立.