Question

【題目】已知函數.

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）當時， 恒成立，求的最大值；

（3）設，若在的值域為，求的取值范圍.（提示： ， ）

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3) .

【解析】試題分析：

(1)首先求解導函數，利用導函數求得斜率即可求得切線方程；

(2)結合題意構造新函數，討論函數g(x)的最小值可得的最大值為.

(3)構造函數，結合導函數的性質得到關于實數t的不等式組，求解不等式組可得的取值范圍是.

試題解析：

(1)∵，

∴，又，

∴所求切線方程為，即.

(2)當時， ，即恒成立，

設，

，

當時， ， 遞減；當時， ， 遞增.

∴，

∴， 的最大值為.

(3) ， ，令得或；

令得或.

∴當時， 取得極小值，當時， 取得極大值.

∵, ,∴.

令得或.∴或，

∴.