Question

【題目】已知函數f（x）=﹣x3+ax2+bx+c圖象上的點P（1，m）處的切線方程為y=﹣3x+1
（1）若函數f（x）在x=﹣2時有極值，求f（x）的表達式．
（2）若函數f（x）在區間[﹣2，0]上單調遞增，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=﹣3x2+2ax+b，

∵函數f（x）在x=1處的切線斜率為﹣3，

∴f′（x）=﹣3+2a+b=﹣3，即2a+b=0，

又f（1）=﹣1+a+b+c=﹣2，得a+b+c=﹣1

函數f（x）在x=﹣2時有極值，

∴f′（﹣2）=﹣12﹣4a+b=0，

解得a=﹣2，b=4，c=﹣3，

∴f（x）=﹣x3﹣2x2+4x﹣3

（2）解：∵函數f（x）在區間[﹣2，0]上單調遞增，

∴導函數f′（x）=﹣3x2﹣bx+b在區間[﹣2，0]上的值恒大于或等于零，

則 ，得b≥4，

∴實數b的取值范圍為[4，+∞）．

【解析】（1）求出原函數的導函數，由題意得f′（x）=﹣3，f（1）=﹣2，再結合f′（﹣2）=0聯立方程組求得a，b，c的值，則f（x）的表達式可求；（2）把函數f（x）在區間[﹣2，0]上單調遞增轉化為f′（x）=﹣3x2﹣bx+b在區間[﹣2，0]上的值恒大于或等于零，進一步轉化為關于b的不等式組得答案．