Question

【題目】設P為雙曲線 =1右支上的任意一點，O為坐標原點，過點P作雙曲線兩漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于A，B兩點，則平行四邊形PAOB的面積為 ．

Answer 1

【答案】15
【解析】解：方法一：雙曲線 =1的漸近線方程為y=± x， 不妨設P為雙曲線右支上一點，其坐標為P（6secφ，5tanφ），
則直線PA的方程為y﹣5tanφ=﹣ （x﹣6secφ），
將y= x代入，解得點A的橫坐標為xA=3（secφ+tanφ）．
同理可得，點B的橫坐標為xB=3（secφ﹣tanφ）．
設∠AOF=α，則tanα= ．
∴平行四邊形PAOB的面積為S□PAOB=|OA||OB|sin2α= sin2α= sin2α= tanα=18× =15，
平行四邊形PAOB的面積15，
方法二：雙曲線 =1的漸近線方程為y=± x，P（x0 ， y0）直線PA的方程為y﹣y0=﹣ （x﹣x0），
直線OB的方程為y= x，
，解得xA= （6y0+5x0）．又P到漸近線OA的距離d= = ，又tan∠xOA= ∴cos∠xOA= ，
∴平行四邊形OQPR的面積S=2S△OPA=|OA|d= = × 丨6y0+5x0丨× = × 900=15，
所以答案是：15．