Question

【題目】如圖，三棱錐P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC為正三角形．
（Ⅰ）證明：AC⊥PB；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AC=PC=2，求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：如圖，

取AC中點O，連接PO，BO，
∵PA=PC，∴PO⊥AC，
又∵底面ABC為正三角形，∴BO⊥AC，
∵PO∩OB=O，∴AC⊥平面POB，則AC⊥PB；
（Ⅱ）解：∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，
PO⊥AC，∴PO⊥平面ABC，
以O為原點，分別以OA、OB、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
∵AC=PC=2，∴P（0，0， ），B（0， ，0），C（﹣1，0，0）， ，
，
設平面PBC的一個法向量為 ，
由 ，取y=﹣1，得 ，
又 是平面PAC的一個法向量，
∴cos＜ ＞= ．
∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值為 ．
【解析】（Ⅰ）取AC中點O，連接PO，BO，由等腰三角形的性質可得PO⊥AC，BO⊥AC，再由線面垂直的判定可得AC⊥平面POB，則AC⊥PB；（Ⅱ）由平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，可得PO⊥平面ABC，以O為原點，分別以OA、OB、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，然后分別求出平面PBC與平面PAC的一個法向量，利用兩法向量所成角的余弦值求得二面角A﹣PC﹣B的余弦值．