Question

【題目】已知橢圓：（）的離心率為，橢圓與軸交于兩點，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）設點是橢圓上的一個動點，且點在軸的右側，直線與直線交于兩點，若以為直徑的圓與軸交于，求點橫坐標的取值范圍及的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）點橫坐標，的最大值2．

【解析】

試題分析：（1）先根據橢圓性質確定兩個獨立條件：，，解方程組得（2）根據題意用點橫坐標表示兩點坐標：設，則可求得，，因而可得以為直徑的圓，進而得到與軸弦長，此時需要利用進行化簡得，因此可得點橫坐標，的最大值2．

試題解析：（1）由題意可得，，，

得， 解得， 橢圓的標準方程為.

（2）設，，，

所以，直線的方程為，同理得直線的方程為

， 直線與直線的交點為，

直線與直線的交點為，

線段的中點，

所以圓的方程為，令，

則， 因為，所以 ，

所以，

因為這個圓與軸相交,該方程有兩個不同的實數解，

所以，解得．

設交點坐標，則（），

所以該圓被軸截得的弦長為最大值為2．