Question

【題目】已知函數.

（1）設.

①若，曲線在處的切線過點，求的值；

②若，求在區間上的最大值.

（2）設在， 兩處取得極值，求證： ， 不同時成立.

Answer 1

【答案】（1）①或.②的最大值為0.（2）見解析.

【解析】（1）根據題意，在①中，利用導數的幾何意義求出切線方程，再將點代入即求出的值，在②中，通過函數的導數來研究其單調性，并求出其極值，再比較端點值，從而求出最大值；（2）由題意可采用反證法進行證明，假設問題成立，再利用函數的導數來判斷函數的單調性，證明其結果與假設產生矛盾，從而問題可得證.

試題解析：（1）當時， .

①若，則，

從而，

故曲線在處的切線方程為 .

將點代入上式并整理得 ，

解得或.

②若，則令，解得或.

（ⅰ）若，則當時， ，

所以為區間上的增函數，

從而的最大值為.

（ii）若，列表：

所以的最大值為.

綜上， 的最大值為0.

（2）假設存在實數，使得與同時成立.

不妨設，則.

因為， 為的兩個極值點，

所以 .

因為，所以當時， ，

故為區間上的減函數，

從而，這與矛盾，

故假設不成立.

既不存在實數， ， ，使得， 同時成立.