Question

【題目】如圖1為某市2017年2月28天的日空氣質量指數折線圖．

由中國空氣質量在線監測分析平臺提供的空氣質量指數標準如下：

空氣質量指數	（0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，300]	300以上
空氣質量等級	1級優	2級良	3級輕度污染	4級中度污染	5級重度污染	6級嚴重污染

（Ⅰ）請根據所給的折線圖補全如圖2所示的頻率分布直方圖（并用鉛筆涂黑矩形區域），并估算該市2月份空氣質量指數監測數據的平均數（保留小數點后一位）；

（Ⅱ）在該月份中任取兩天，求空氣質量至少有一天為優或良的概率；
（Ⅲ）如果該市對環境進行治理，治理后經統計，每天的空氣質量指數近似滿足X～N（75，552），則治理后的空氣質量指數均值大約下降了多少？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由折線圖知空氣質量指數分別為（0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]的頻數分別為2，16，8，2，
∴各組對應的頻率分布為 ，
∴各小矩形的高分別為 ，
∴補全頻率分布直方圖，如下圖：

該市2月份空氣質量指數監測數據的平均數值為：
≈92.9．
（Ⅱ）該月份該市空氣質量為優的有2天，空氣質量為良的有16天，
則任取兩天至少有一天空氣質量為優或良的概率為p=1﹣ = ．
（Ⅲ）由已知，該市對環境進行治理，
該市對環境進行治理，治理后經統計，每天的空氣質量指數近似滿足X～N（75，552），
空氣質量的均值為E（X）=75，
92.9﹣75=17.9，
故該市治理后的空氣質量指數下降了17.9
【解析】（Ⅰ）由折線圖知空氣質量指數分別為（0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]的頻數分別為2，16，8，2，由此求出各小矩形的高，從而能補全頻率分布直方圖，由此能求出該市2月份空氣質量指數監測數據的平均數值．（Ⅱ）該月份該市空氣質量為優的有2天，空氣質量為良的有16天，由此能求出任取兩天至少有一天空氣質量為優或良的概率．（Ⅲ）由已知，該市對環境進行治理，空氣質量的均值為E（X）=75，由此能求出該市治理后的空氣質量指數大約下降了多少．
【考點精析】利用頻率分布直方圖對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息．