Question

【題目】已知函數，（）．

（Ⅰ）求的單調遞增區間；

（Ⅱ）設，且有兩個極值點，，其中，求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）

【解析】

試題

本題考查利導數在研究函數問題中的應用。（Ⅰ）由題意得，根據函數圖象的特點分和兩種情況討論的符號，從而確定函數的單調增區間。（Ⅱ）由條件得（），故可將問題轉化為，是方程的兩根的問題處理，然后根據，的關系可得 ，構造函數，，求其最小值即可。

試題解析：

（Ⅰ）由題意得，，

∴ ，

令，則其圖象的對稱軸為

①當時，，所以在上單調遞增；

②當時，由，得，,

由，解得或，

∴的單調遞增區間為，

綜上所述，當時，的單調遞增區間為

當時，的單調遞增區間為，

（Ⅱ）由題意得，（）

∴ （），

∵有兩個極值點，，

∴，是方程的兩根，

∴，，

∴ ，，

令，

則

當時，，在上單調遞減，

∴ 的最小值為，

即的最小值為