Question

已知四棱錐，底面為矩形，側棱，其中，為側棱上的兩個三等分點，如下圖所示．
（1）求證：；
（2）求異面直線與所成角的余弦值；
（3）求二面角的余弦值．
 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；(3)．

試題分析：(1)利用底面矩形的對角線互相平分產生一個AC的中點,從而構造出了△ANC的中位線，利用線線平行得到了線面平行；(2)此題利用傳統平移的做法求異面直線的夾角略顯繁瑣，故可利用條件中PA⊥平面ABCD產生空間直角坐標系，利用空間向量求線線角；(3)同(2)，傳統做出二面角的平面角的方法比較繁瑣，利用已經建好的坐標系求出法向量，進而可以得到二面角的余弦值．
（1）證明：連結AC交BD于O，連結OM，
∵底面ABCD為矩形，∴O為AC中點，∵M、N為側棱PC的三等份點，∴CM=CN，
∴OM//AN， ∵OM平面MBD，AN平面MBD，∴AN//平面MBD  4分．
（2）如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標系A-xyz，

則A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,6,0)，D(0,6,0)，P(0,0,3)，M(2,4,1)，N(1,2,2),
,  ,  
異面直線AN與PD所成角的余弦值為         8分
（3）∵側棱PA垂直底面ABCD,∴平面BCD的一個法向量為=(0,0,3),           
設平面MBD的法向量為m=(x,y,z),，并且,
，令y-1得x=2，z=-2,
∴平面MBD的一個法向量為m=(2,1,-2),,   12分
由圖可知二面角M-BD-C的大小是銳角,
∴二面角M-BD-C大小的余弦值為      12分．