Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點A₁在平面ABC內的射影D在AC上，∠ACB=90，BC=1，AC=CC₁=2.
(1)證明：AC₁⊥A₁B;
(2)設直線AA₁與平面BCC₁B₁的距離為，求二面角A₁-AB-C的大小.

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）arctan.

試題分析：（1）利用AC₁⊥平面ABC,可得平面AA₁C₁C⊥平面ABC,在利用平面與平面垂直的性質和已知條件可得BC⊥平面AA₁C₁C，而AC₁⊥A₁C,所以AC₁⊥A₁B.
（2）作A₁E⊥C₁C,E為垂足，則A₁E⊥平面BCC₁B₁,而直線A A₁∥平面BCC₁B₁，A₁E為直線A A₁與平面BCC₁B₁間的距離，則A₁D=A₁E=,然后證明∠A₁FD為二面角A₁-AB­-C的平面角,求出tan∠A₁FD=即可.
試題解析：
解法一：（1）∵A₁D⊥平面ABC, A₁D平面AA₁C₁C,故平面AA₁C₁C⊥平面ABC,又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA₁C₁C，連結A₁C，因為側面AA₁C₁C是棱形，所以AC₁⊥A₁C,由三垂線定理的AC₁⊥A₁B.

(2) BC⊥平面AA₁C₁C，BC平面BCC₁B₁,故平面AA₁C₁C⊥平面BCC₁B₁,
作A₁E⊥C₁C,E為垂足，則A₁E⊥平面BCC₁B₁,又直線A A₁∥平面BCC₁B₁，因而A₁E為直線A A₁與平面BCC₁B₁間的距離，A₁E=，因為A₁C為∠ACC₁的平分線，故A₁D=A₁E=,
作DF⊥AB，F為垂足，連結A₁F,由三垂線定理得A₁F⊥AB，故∠A₁FD為二面角A₁-AB­-C的平面角，由AD=,得D為AC的中點，DF=,tan∠A₁FD=,所以二面角A₁-AB­-C的大小為arctan.
解法二：以C為坐標原點，射線CA為x軸的正半軸，以CB的長為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz，由題設知A₁D與z軸平行，z軸在平面AA₁C₁C內.
（1）設A₁（a，0，c），由題設有a≤2，A（2,0,0）B（0,1,0），則(-2，1，0),

，，由得，即，于是①,所以.
（2）設平面BCC₁B₁的法向量，則，,即，因，故y=0，且（a-2）x-cz=0，令x=c，則z=2-a，，點A到平面BCC₁B₁的距離為，又依題設，點A到平面BCC₁B₁的距離為，所以c= .代入①得a=3（舍去）或a=1.于是，
設平面ABA₁的法向量，則,即.且-2p+q=0，令p=，則q=2，r=1，，又為平面ABC的法向量，故cos，所以二面角A₁-AB­-C的大小為arccos，