Question

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側面底面．
（Ⅰ）若，分別為，中點，求證：∥平面；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）若，求證：平面平面．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析，（Ⅱ）詳見解析，（Ⅲ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）證明線面平行，關鍵在于找出線線平行.本題條件含中點，故從中位線上找線線平行. ，分別為，中點，在△中，是中點，是中點，所以∥．又因為平面，平面，所以∥平面．（Ⅱ）由面面垂直性質定理可得線面垂直，因為平面底面，且平面平面，又，平面，所以面．又因為平面，所以．即．（Ⅲ）證明面面垂直，關鍵找出線面垂直. 在△中，因為，所以．由（Ⅱ）可知，且，
所以平面．又因為平面，所以平面平面．
證明：（Ⅰ）如圖，連結．
因為底面是正方形，
所以與互相平分．         
又因為是中點，
所以是中點．
在△中，是中點，是中點，
所以∥．
又因為平面，平面，
所以∥平面．                                          4分
（Ⅱ）因為平面底面，且平面平面，
又，平面，
所以面．
又因為平面，
所以．即．                             9分    
（Ⅲ）在△中，因為，所以．
由（Ⅱ）可知，且，
所以平面．
又因為平面，
所以平面平面．                                 14分