Question

【題目】為弘揚民族古典文化，市電視臺舉行古詩詞知識競賽，某輪比賽由節目主持人隨機從題庫中抽取題目讓選手搶答，回答正確將給該選手記正10分，否則記負10分．根據以往統計，某參賽選手能答對每一個問題的概率均為 ；現記“該選手在回答完n個問題后的總得分為Sn”．
（1）求S6=20且Si≥0（i=1，2，3）的概率；
（2）記X=|S5|，求X的分布列，并計算數學期望E（X）．

Answer 1

【答案】
（1）解：當S6=20時，即回答6個問題后，正確4個，錯誤2個．

若回答正確第1個和第2個問題，則其余4個問題可任意回答正確2個問題；

若第一個問題回答正確，第2個問題回答錯誤，第三個問題回答正確，則其余三個問題可任意回答正確2個．

記回答每個問題正確的概率為p，則 ，同時回答每個問題錯誤的概率為

故所求概率為：

（2）解：由X=|S5|可知X的取值為10，30，50

可有 ，

，

故X的分布列為：

X	10	30	50
P

E（X）= =

【解析】（1）當S6=20時，即回答6個問題后，正確4個，錯誤2個．若回答正確第1個和第2個問題，則其余4個問題可任意回答正確2個問題；若第一個問題回答正確，第2個問題回答錯誤，第三個問題回答正確，則其余三個問題可任意回答正確2個．記回答每個問題正確的概率為p，則 ，同時回答每個問題錯誤的概率為 ，由此能求出S6=20且Si≥0（i=1，2，3）的概率．（2）由X=|S5|可知X的取值為10，30，50，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解離散型隨機變量及其分布列的相關知識，掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．