Question

【題目】已知函數f（x）=2ax﹣2，g（x）=a（x﹣2a）（x+2﹣a），a∈R且a≠0．
（1）若{x|f（x）g（x）=0}={1，2}，求實數a的值；
（2）若{x|f（x）＜0或g（x）＜0}=R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：

g（x）=a（x﹣2a）（x+a﹣2）=0得x=2a，x=2﹣a

∵{x|f（x）g（x）=0}={1，2}，

∴

經檢驗a=1符合題意，∴a=1

（2）解法1：設由于{x|f（x）＜0或g（x）＜0}=R

當a＞0時，x→+∞總有f（x）＞0，g（x）＞0不符合題意

當a＜0時，由f（x），g（x）的圖象可得f（x）＜0或g（x）＜0成立則

∴

解法2：設由于{x|f（x）＜0或g（x）＜0}=R

當a＞0時，x→+∞總有f（x）＞0，g（x）＞0不符合題意

當a＜0時，若f（x）＜0，則

若g（x）＜0，則x∈（2﹣a，+∞）∪（﹣∞，2a）

則

∴

綜上

【解析】（1）通過方程的根，結合已知條件求解即可．（2）解法1：利用{x|f（x）＜0或g（x）＜0}=R，通過當a＞0時，當a＜0時，結合函數的圖象驗證求解即可．解法2：由于{x|f（x）＜0或g（x）＜0}=R，驗證當a＞0時，不符合題意，當a＜0時，討論若f（x）＜0，若g（x）＜0，推出結果即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的值的相關知識點，需要掌握函數值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數的單調性法才能正確解答此題．