Question

【題目】中國傳統文化中很多內容體現了數學的對稱美，如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分展現了相互轉化、對稱統一的形式美、和諧美，給出定義：能夠將圓O的周長和面積同時平分的函數稱為這個圓的“優美函數”，給出下列命題：

①對于任意一個圓O，其“優美函數”有無數個；

②函數f（x）＝ln（）可以是某個圓的“優美函數”；

③函數y＝1+sinx可以同時是無數個圓的“優美函數”；

④函數y＝2x+1可以同時是無數個圓的“優美函數”；

⑤函數y＝f（x）是“優美函數”的充要條件為函數y＝f（x）的圖象是中心對稱圖形.

其中正確的命題是_____.

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根據優美函數的定義，經過圓心的直線滿足①；對于函數根據其單調性且圖象為曲線可判斷②；當圓心經過的中心時可判斷③；直線經過圓心時可判斷④；舉出反例雙曲線可判斷⑤.

①對于任意一個圓，其過圓心的對稱軸由無數條，所以其“優美函數”有無數個，故①正確；②函數的定義域為，在上單調遞減，在上單調遞增且圖象為曲線，故不可以是某個圓的“優美函數”，故②不正確；③當圓經過函數的對稱中心時，根據的圖象可知可以將圓分成優美函數，圖象可以延伸，所以可以同時是無數個圓的“優美函數”；④函數只要過圓心，即可以同時是無數個圓的“優美函數”；⑤函數是“優美函數”的充要條件為函數的圖象是中心對稱圖形，不對，有些中心對稱圖形不一定是“優美函數”，比如“雙曲線”；故答案為①③④．