Question

【題目】設橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，過點與垂直的直線交軸負半軸于點，且恰是的中點，若過三點的圓恰好與直線相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點，在軸上是否存在點，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題（1）從已知條件中尋找三者之間的關系，過三點在同一圓上，又，可以得到圓心為，從而得到，再由直線與圓相切可得，最后再利用求出即可；（2）以為鄰邊的平行四邊形是菱形，可得菱形的對角線互相垂直，為的中點，則，聯立直線方程和橢圓方程，消元后，利用韋達定理表示出的坐標，進而利用條件可求出的值.

試題解析：解：（1）設橢圓的半焦距為，

由為線段中點，，

所以三點圓的圓心為，半徑為，

又因為該圓與直線相切，所以.

所以，故所求橢圓方程為；

（2）將直線代入得.

設，則.

∴，

∴的中點，

由于菱形對角線互相垂直，則.

∴，解得.

即存在滿足題意的點，且m的值為.