Question

【題目】已知函數，（其中）

（1）若，討論函數的單調性；

（2）若，求證：函數有唯一的零點.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：

(1)結合函數的解析式可得 ，導函數的零點為，據此分類討論可得：當時， 在單調遞增，在單調遞減；當時， 在單調遞增；當時， 在單調遞增，在在單調遞減.

(2)由題意可得：若，則導函數的零點為，結合導函數與原函數的關系可得當時， 取得極小值，且易證明在區間上， ，而，有函數零點存在定理可知當時，函數有唯一的零點.

試題解析：

（1）的定義域為，

，

令，即，

①當，即時， 是上的增函數；

②當，即時，當時， 單調遞增，當時，

單調遞減；當時， 單調遞增；

③當，即時，當時， 單調遞增；當時， 單調遞減；當時， 單調遞增；

綜上所述，當時， 在單調遞增，在單調遞減；

當時， 在單調遞增；

當時， 在單調遞增，在在單調遞減.

（2）若，令，即，得，

當時， 單調遞減，當時， 單調遞增，

故當時， 取得極小值，

以下證明：在區間上， ，

令，則，

，

因為，不等顯然成立，故在區間上， ，

又，即，故當時，函數有唯一的零點.