Question

【題目】已知拋物線上的兩個動點， 的橫坐標，線段的中點坐標為，直線與線段的垂直平分線相交于點.

（1）求點的坐標；

（2）求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）．

【解析】試題分析：（1）根據題設條件可求出線段的斜率，進而求出線段的垂直平分線方程，聯立直線與線段的垂直平分線方程，即可求出點的坐標；（2）聯立直線與拋物線的方程，結合韋達定理及弦長公式求出線段的長，再求出點到直線的距離，即可求出的表達式，再構造新函數，即可求出最大值.

試題解析：（1）∵，有，又點M不在拋物線C上，有，而， ，

∴線段的斜率為 ，

∴線段的垂直平分線方程為，即，

由得，

即，得， ，

∴點的坐標.

（2）直線的方程為，

由得，

∵，∴，結合（1）得，

又， ，

∴ ，

又點到直線的距離，

∴ ，

設， ，

則 ，

令得 (舍去)， ，

由于時， ， 單調遞增，

時， ， 單調遞減，

∴當時， 取得最大值，即的面積取得最大值，

故的面積的最大值為 ．