Question

【題目】已知函數， .

（Ⅰ）若，求的單調區間；

（Ⅱ）若對任意的， 都有成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的單調遞增區間是，單調遞減區間是．（Ⅱ）

【解析】試題分析：（1）將代入表達式，求導，研究導函數的正負，從而得到單調區間；（2）先求出在上的最大值為，問題轉化為恒成立，變量分離得到對任意的恒成立，轉化為求函數的最值。

解析：

（Ⅰ）若，則 ， ，

由得；由得，

所以的單調遞增區間是，單調遞減區間是．

（Ⅱ），所以當時， ， 單調遞減；

當時， ， 單調遞增，

又， ，所以在上的最大值為．

由題意，若對任意的，都有成立，

即對任意的，都有恒成立，即恒成立，

即對任意的恒成立，所以．

設， ，則， ，

所以在上單調遞減，則，

所以在上單調遞減，又，

所以當時， ， 單調遞增；

當時， ， 單調遞減，

∴在上的最大值為，∴，

所以的取值范圍是．

點睛:這個題目考查了導數在研究函數的單調性中的應用，在研究函數最值的應用；對于函數恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉化為函數最值問題；或者直接求函數最值，使得函數最值大于或者小于0；或者分離成兩個函數，使得一個函數恒大于或小于另一個函數。