Question

【題目】已知函數f(x)＝ax2－ax－xln x，且f(x)≥0.

(1)求a；

(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點x0，且e－2<f(x0)<2－2．

Answer 1

【答案】(1)；（2）見解析.

【解析】試題分析：通過分析可知等價于，進而利用可得，從而可得結論；

通過可知，記，解不等式可知，從而可知存在兩根，利用必存在唯一極大值點及可知，另一方面可知

解析：（1）解：因為f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），

則f（x）≥0等價于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，求導可知h′（x）=a﹣．

則當a≤0時h′（x）＜0，即y=h（x）在（0，+∞）上單調遞減，

所以當x0＞1時，h（x0）＜h（1）=0，矛盾，故a＞0．

因為當0＜x＜時h′（x）＜0、當x＞時h′（x）＞0，所以h（x）min=h（），

又因為h（1）=a﹣a﹣ln1=0，所以=1，解得a=1；

（2）證明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，

令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，記t（x）=2x﹣2﹣lnx，則t′（x）=2﹣，

令t′（x）=0，解得：x=，

所以t（x）在區間（0，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增，

所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，從而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在兩根x0，x2，

且不妨設f′（x）在（0，x0）上為正、在（x0，x2）上為負、在（x2，+∞）上為正，

所以f（x）必存在唯一極大值點x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0，

所以f（x0）=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣，

由x0＜可知f（x0）＜（x0﹣）max=﹣+=；

由f′（）＜0可知x0＜＜，

所以f（x）在（0，x0）上單調遞增，在（x0，）上單調遞減，

所以f（x0）＞f（）=；

綜上所述，f（x）存在唯一的極大值點x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．