Question

【題目】對于函數，若，則稱為的“不動點”，若，則稱為的“穩定點”，函數的“不動點”和“穩定點”的集合分別記為和，即，那么，

(1)求函數的“穩定點”;

(2)若，且，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)4;(2).

【解析】

（1）由穩定點的定義解方程即可得解；

（2）研究可知當時，，當時，集合的元素為1，；研究可知，中要么沒有元素，要么與的元素相同，再分類討論即可得解．

解：（1）由題意得，，即，求得，所以函數的“穩定點”為.

（2）因為，則有實根，即有實根，

當時，所以 ;

當時，方程符合題意.

因為，則有實根，即有實根，化簡可得，

因為，所以要么沒有實根，要么實根是方程的根.

若沒有實根，則 且;

若有實根，且實根是方程的根，由方程知，代入，有，再代入可得，

故實數的取值范圍為.