Question

【題目】若數列同時滿足條件：①存在互異的使得（為常數）；

②當且時，對任意都有，則稱數列為雙底數列.

（1）判斷以下數列是否為雙底數列（只需寫出結論不必證明）；

①； ②； ③

（2）設，若數列是雙底數列，求實數的值以及數列的前項和；

（3）設，是否存在整數，使得數列為雙底數列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ①③是雙底數列，②不是雙底數列(2) （3）存在整數或，使得數列為雙底數列

【解析】試題分析：（1）根據雙底數列的定義可判定①③是雙底數列，②不是雙底數列；（2）由雙底數列定義可知，解得， 當時，數列成等差， ，當時， ，從而可得結果；（3）， 若數列是雙底數列，則有解（否則不是雙底數列），即 ，該方程共有四組解，分別驗證是否為雙底數列即可得結果.

試題解析：（1）①③是雙底數列，②不是雙底數列；

（2）數列當時遞減，當時遞增，

由雙底數列定義可知，解得，

當時，數列成等差， ，

當時， ，

綜上， .

（3），

，

若數列是雙底數列，則有解（否則不是雙底數列），

即 ，

得或或或

故當時， ，

當時， ；當時， ；當時， ；

從而 ，數列不是雙底數列；

同理可得：

當時， ，數列不是雙底數列；

當時， ，數列是雙底數列；

當時， ，數列是雙底數列；

綜上，存在整數或，使得數列為雙底數列.