Question

【題目】如圖，，，，，分別為，邊的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且..

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）設為線段上動點，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；

（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由題，易證得，即可證得結論；

（Ⅱ）取BE的中點O,連接PO,易證得PO，然后以O為原點，建立直角坐標系，利用空間向量求得與平面所成角的正弦值，求得其最大值即可.

（Ⅰ）E,F分別為AB ,AC邊的中點,所以

因為

又因為 ，所以平面．

（Ⅱ）取BE的中點O,連接PO,

由（1）知平面,EF平面BCFE，,

所以平面PBE平面BCFE

因為PB=BE=PE,所以PO,

又因為PO平面PBE,平面PBE平面BCFE=BE

所以PO .

過O作OM//BC交CF于M,分別以OB，OM，OP所在直線為

x,y,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示.

N為線段PF上一動點設,由,

得

設平面PCF的法向量為

則 即取

設直線BN與平面PCF所成角

直線BN與平面PCF所成角的正弦值的最大值為