Question

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長2的正方形，E，F分別為線段DD1 ， BD的中點．
（1）求證：EF∥平面ABC1D1；
（2）AA1=2 ，求異面直線EF與BC所成的角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結BD1，

在△DD1B中，E、F分別是D1D、DB的中點，

∴EF是△DD1B的中位線，

∴EF∥D1B，

∵D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1，

∴EF∥平面ABC1D1

（2）解：∵AA1=2 ，AB=2，EF∥BD1，

∴∠D1BC是異面直線EF與BC所成的角（或所成角的補角），

在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC⊥平面CDD1C1，CD1平面CDD1C1，

∴BC⊥CD1．

在Rt△D1C1C中，BC=2，CD1=2 ，D1C⊥BC，

∴tan∠D1BC= ，

∴∠D1BC=60°，

∴異面直線EF與BC所成的角的大小為60°

【解析】（1）連結BD1 ， 推導出EF∥D1B，由此能證明EF∥平面ABC1D1 ． （2）由EF∥BD1 ， 知∠D1BC是異面直線EF與BC所成的角（或所成角的補角），由此能求出異面直線EF與BC所成的角的大小．
【考點精析】認真審題，首先需要了解異面直線及其所成的角(異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系)，還要掌握直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)的相關知識才是答題的關鍵．