Question

【題目】設數列{an}的首項a1=1，前n項和Sn滿足關系式：3tSn﹣（2t+3）Sn﹣1=3t（t＞0，n=2，3，4…）
（1）求證：數列{an}是等比數列；
（2）設數列{an}的公比為f（t），作數列{bn}，使 ，求數列{bn}的通項bn；
（3）求和：b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2nb2n+1 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵a1=S1=1，S2=1+a2，

∴a2=

又3tSn﹣（2t+3）Sn﹣1=3t ①

∴3tSn﹣1﹣（2t+3）Sn﹣2=3t ②

①﹣②得：3tan﹣（2t+3）an﹣1=0，

∴ ，（n=2，3，…）

∴{an}是一個首項為1、公比為 的等比數列

（2）解：∵f（t）= ，

∴bn=f +bn﹣1．

∴數列{bn}是一個首項為1、公差為 的等差數列．

∴bn=1+ （n﹣1）=

（3）解：∵bn= ，

∴數列{b2n﹣1}和{b2n}是首項分別為1和 ，公差均為 的等差數列，

于是b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2nb2n+1

=b2（b1﹣b3）+b4（b3﹣b5）+b6（b5﹣b7）+…+b2n（b2n﹣1+b2n+1）

=﹣ （b2+b4+…+b2n）

=﹣

=﹣ （2n2+3n）

【解析】（1）通過3tSn﹣（2t+3）Sn﹣1=3t與3tSn﹣1﹣（2t+3）Sn﹣2=3t作差、整理得 （n=2，3，…），進而可得結論；（2）通過（1）可知bn=f +bn﹣1 ， 即數列{bn}是一個首項為1、公差為 的等差數列，進而即得結論；（3）通過bn= 可知數列{b2n﹣/span>1}和{b2n}是首項分別為1和 、公差均為 的等差數列，并項取公因式，計算即得結論．
【考點精析】通過靈活運用等比數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和，掌握通項公式：；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系即可以解答此題．