Question

【題目】為豐富市民的文化生活，市政府計劃在一塊半徑為100m的扇形土地OAB上建造市民廣場．規劃設計如圖：矩形EFGH（其中E，F在圓弧AB上，G，H在弦AB上）區域為運動休閑區，△OAB區域為文化展示區，其余空地為綠化區域，已知P為圓弧AB中點，OP交AB于M，cos∠POB=，記矩形EFGH區域的面積為Sm2．

（1）設∠POF=θ（rad），將S表示成θ的函數；

（2）求矩形EFGH區域的面積S的最大值．

Answer 1

【答案】(1) 函數關系式是S=1000sinθ（20cosθ﹣7），（0＜θ＜∠POB）;(2) 面積S的最大值5400m3．

【解析】

(1) 矩形EFGH中，EF=200sinθ，FG=100cosθ﹣35，故S=EFFG=1000sinθ（20cosθ﹣7）;(2)對面積的函數表達式求導得到函數的單調性，進而得到函數的最值.

（1）由題意可知：OF=OB=100，OM=OBcos∠POB=100×=35，

故矩形EFGH中，EF=2OFsin∠POF=200sinθ，

FG=OFcos∠POF﹣OM=100cosθ﹣35，

故S=EFFG=200sinθ（100cosθ﹣35）=1000sinθ（20cosθ﹣7），

即所求的函數關系式是S=1000sinθ（20cosθ﹣7），（0＜θ＜∠POB）；

（2）f′（θ）=1000cosθ（20cosθ﹣7）+1000sinθ（﹣20sinθ）=1000（40cos2θ﹣7cosθ﹣20），

由f′（θ）=0，即40cos2θ﹣7cosθ﹣20=0，解得cosθ=或cosθ=﹣，

因為0＜θ＜∠POB，所以cosθ＞cos∠POB，所以cosθ=，

設cosθ0=，且0＜θ0＜∠POB，

則當θ∈（0，θ0）時，f′（θ）＞0，f（θ）是增函數，

當θ∈（θ0，+∞）時，f′（θ）＜0，f（θ）是減函數，

所以當θ=θ0時，即cosθ=，f（θ）取得最大值，此時S有最大值為5400m3，

即矩形EFGH區域的面積S的最大值5400m3．