Question

【題目】已知函數．

(1)求函數的定義域，判斷并證明的奇偶性；

(2)判斷函數的單調性；

(3)解不等式.

Answer 1

【答案】（1）是定義在上的奇函數；（2）在其定義域上是增函數；（3）.

【解析】試題分析：（1）化簡函數的即解析式為，求得函數的定義域為，再根據，可得函數是定義在上的奇函數；（2）設利用作差證明即可；（3）先判斷函數的奇偶性，根據函數的奇偶性、單調性、得到關于 的不等式，解不等式即可得結果.

試題解析：(1) ∵，∴ ，∴的定義域為.

∵的定義域為,

又 ，

∴，　

∴是定義在上的奇函數．

(2) 任取,且,則

，

∵，∴，

∴，又， ，

∴，∴，

∴函數在其定義域上是增函數．

(3) 由得.

∵函數為奇函數，

∴，∴．

由(2)題已知函數在上是增函數.

∴ ，∴．

∴不等式的解集為.

【方法點晴】本題主要考查函數的定義域、函數的單調性的應用，屬于難題.根據函數的單調性解不等式應注意以下三點：（1）一定注意函數的定義域（這一點是同學們容易疏忽的地方，不等掉以輕心）；（2）注意應用函數的奇偶性（往往需要先證明是奇函數還是偶函數）；（3）化成 后再利用單調性和定義域列不等式組.