Question

【題目】已知數列{an}，{bn}滿足：bn=an+1﹣an（n∈N*）．
（1）若a1=1，bn=n，求數列{an}的通項公式；
（2）若bn+1bn﹣1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2． （i）記cn=a6n﹣1（n≥1），求證：數列{cn}為等差數列；
（ii）若數列{ }中任意一項的值均未在該數列中重復出現無數次，求首項a1應滿足的條件．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n≥2時，有an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（an﹣an﹣1）

=a1+b1+b2++bn﹣1

= ﹣ +1；

又a1=1也滿足上式，所以數列{an}的通項公式是an= ﹣ +1

（2）解：（ i）因為對任意的n∈N*，有bn+6= = = =bn，

所以cn+1﹣cn=a6n+5﹣a6n﹣1

=b6n﹣1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4

=1+2+2+1+ + =7，

所以，數列{cn}為等差數列；

（ ii）設cn=a6（n﹣1）+i（n∈N*）（其中i為常數且i∈{1，2，3，4，5，6}，

所以cn+1﹣cn=a6（n﹣1）+6+i﹣a6（n﹣1）+i

=b6（n﹣1）+i+b6（n﹣1）+i+1+b6（n﹣1）+i+2+b6（n﹣1）+i+3

+b6（n﹣1）+i+4+b6（n﹣1）+i+5=7，

即數列{a6（n﹣1）+i}均為以7為公差的等差數列；

設fk= = = = +

（其中n=6k+i，k≥0，i為{1，2，3，4，5，6}中一個常數）

當ai= i時，對任意的n=6k+i，有 = ；

當ai≠ i時，fk+1﹣fk= ﹣ =（ai﹣ i）

①若ai＞ i，則對任意的k∈N有fk+1＜fk，所以數列{ }為遞減數列

②若ai＜ i，則對任意的k∈N有fk+1＞fk，所以數列{ }為遞增數列．

綜上所述，集合B={ }∪{ }∪{ }∪{﹣ }∪{﹣ }={ ， ， ，﹣ ，﹣ }．

當a1∈B時，數列{ }中必有某數重復出現無數次；

當a1B時，數列{ }（i=1，2，3，4，5，6）均為單調數列，

任意一個數在這6個數列中最多出現一次，

所以數列{ }任意一項的值均未在該數列中重復出現無數次．

【解析】（1）根據遞推數列求出數列{an}的通項公式；（2）（i）根據等差數列的定義，證明數列{cn}為等差數列；（ii）設cn=a6（n﹣1）+i（n∈N*），判斷數列{a6（n﹣1+i}以7為公差的等差數列；

設fk= ，計算fk+1﹣fk的值，求出a1滿足的條件即可．

【考點精析】通過靈活運用等差關系的確定和數列的通項公式，掌握如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式即可以解答此題．