Question

【題目】在自然數列1，2，3，，n中，任取k個元素位置保持不動，將其余n﹣k個元素變動位置，得到不同的新數列．由此產生的不同新數列的個數記為Pn（k）．
（1）求P3（1）
（2）求 P4（k）；
（3）證明 kPn（k）=n Pn﹣1（k），并求出 kPn（k）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵數列1，2，3中保持其中1個元素位置不動的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，

∴P3（1）=3；

（2）解： = ；
（3）證明：把數列1，2，，n中任取其中k個元素位置不動，則有 種；其余n﹣k個元素重新排列，并且使其余n﹣k個元素都要改變位置，則有 ，

故 ，

又∵ ，

∴ ．

令 ，則an=nan﹣1，且a1=1．

于是a2a3a4an﹣1an=2a1×3a2×4a3××nan﹣1，

左右同除以a2a3a4an﹣1，得an=2×3×4××n=n!

∴ ．

【解析】（1）數列1，2，3中保持其中1個元素位置不動的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，即可得出；（2）類比（1）即可得出；（3）：把數列1，2，，n中任取其中k個元素位置不動，則有 種；其余n﹣k個元素重新排列，并且使其余n﹣k個元素都要改變位置，則 ，可得 ，利用 ，即可得出．
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系即可以解答此題．