Question

【題目】如圖1，平面五邊形ABCDE中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2，CD=1，△ADE是邊長(zhǎng)為2的正三角形．現(xiàn)將△ADE沿AD折起，得到四棱錐E﹣ABCD（如圖2），且DE⊥AB．
（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面BCE和平面ADE所成銳二面角的大小；
（Ⅲ）在棱AE上是否存在點(diǎn)F，使得DF∥平面BCE？若存在，求 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：由已知得AB⊥AD，AB⊥DE．
因?yàn)锳D∩DE=D，所以AB⊥平面ADE．
又AB平面ABCD，所以平面ADE⊥平面ABCD
（Ⅱ）解：設(shè)AD的中點(diǎn)為O，連接EO．
因?yàn)椤鰽DE是正三角形，所以EA=ED，所以EO⊥AD．
因?yàn)?平面ADE⊥平面ABCD，
平面ADE∩平面ABCD=AD，EO平面ADE，
所以EO⊥平面ABCD．
以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，在平面ABCD內(nèi)過(guò)O 垂直于AD的直線為y軸，OE所在的直線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，如圖所示．

由已知，得E（0，0， ），B（1，2，0），C（﹣1，1，0）．
所以 =（1，﹣1， ）， =（2，1，0）．
設(shè)平面BCE的法向量 =（x，y，z）．
則 ，
令x=1，則 =（1，﹣2，﹣ ）．
又平面ADE的一個(gè)法向量 =（0，1，0），
所以cos＜ ＞= =﹣ ．
所以平面BCE和平面ADE所成的銳二面角大小為 ．
（Ⅲ）在棱AE上存在點(diǎn)F，使得DF∥平面BCE，此時(shí) ．
理由如下：
設(shè)BE的中點(diǎn)為G，連接CG，F(xiàn)G，
則FG∥AB，F(xiàn)G= ．
因?yàn)锳B∥CD，且 ，所以FG∥CD，且FG=CD，
所以四邊形CDFG是平行四邊形，所以DF∥CG．
因?yàn)镃G平面BCE，且DF平面BCE，
所以DF∥平面BCE
【解析】（Ⅰ）推導(dǎo)出AB⊥AD，AB⊥DE，從而AB⊥平面ADE，由此能平面ADE⊥平面ABCD．（Ⅱ）設(shè)AD的中點(diǎn)為O，連接EO，推導(dǎo)出EO⊥AD，從而EO⊥平面ABCD．以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，在平面ABCD內(nèi)過(guò)O 垂直于AD的直線為y軸，OE所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，利用向量法能求出平面BCE和平面ADE所成的銳二面角大小．（Ⅲ）設(shè)BE的中點(diǎn)為G，連接CG，F(xiàn)G，推導(dǎo)出四邊形CDFG是平行四邊形，從而DF∥CG．由此能求出在棱AE上存在點(diǎn)F，使得DF∥平面BCE，此時(shí) ．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直才能正確解答此題．