Question

【題目】對于函數，若存在成立，則稱的不動點.如果函數

有且只有兩個不動點0，2，且

（1）求函數的解析式；

（2）已知各項不為零的數列，求數列通項；

（3）如果數列滿足，求證：當時，恒有成立.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）根據題意得方程有兩解0，2，代入可得再根據得結合解得c,b，最后代入驗證舍去不滿足題意的解，（2）代入化簡得再根據和項與通項關系解得最后代入驗證，根據等差數列通項公式求結果，（3）利用反證法，假設先由得，再根據得兩者矛盾，即得結論.

解：設得：由違達定理得：

解得代入表達式，由

得不止有兩個不動點，

（2）由題設得 （A）

且 （B）

由（A）（B）得：

解得（舍去）或；由，若這與矛盾，

，即{是以1為首項，1為公差的等差數列，

；

（3）證法（一）：運用反證法，假設則由（1）知

∴，而當

這與假設矛盾，故假設不成立，∴.

證法（二）：由

得<0或結論成立；

若 ，此時從而

即數列{}在時單調遞減，由，可知上成立.