Question

【題目】如圖，在底面為正方形的四棱錐中，平面，點，分別在棱，上，且滿足，.

（1）證明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）在棱上取一點，使得，連接，，可證明是平行四邊形，可得，由線面平行的判定定理可得結果；（2）以為坐標原點以為軸建立空間直角坐標系，設，利用向量垂直數量積為零列方程求出平面的法向量，結合平面的一個法向量為，利用空間向量夾角余弦公式求解即可.

（1）在棱上取一點，使得，連接，，

因為，，所以，

所以.又因為，，所以，，

所以是平行四邊形，所以，

因為平面，平面，所以平面.

（2）依題意，以為坐標原點，以為軸建立空間直角坐標系，

設，則，，，

所以，.

設平面的法向量為，則，即，取，

則.

又平面，所以平面的一個法向量為，

所以，

又二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.