Question

已知PQ與圓O相切于點A，直線PBC交圓于B、C兩點，D是圓上一點，且AB∥CD，DC的延長線交PQ于點Q．
（1）求證：
（2）若AQ=2AP，AB=,BP=2，求QD．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）．

試題分析：本題主要考查同位角、弦切角、相似三角形、切線的性質、切割線定理等基礎知識，考查學生的邏輯推理能力、分析問題解決問題的能力、轉化能力．第一問，先利用同位角相等得到∠PAB=∠AQC,再利用弦切角相等,得到，同理，AQ為切線，則∠QAC=∠CBA,所有得到三角形相似，利用相似得性質得邊的比例關系；第二問，由AB//CQ，利用平行線的性質得，得到QC和PC的長，利用切線的性質，得，，得到QD的值．
（1）因為AB∥CD，所以∠PAB=∠AQC, 又PQ與圓O相切于點A，所以∠PAB=∠ACB,
因為AQ為切線，所以∠QAC=∠CBA,所以△ACB∽△CQA,所以,
所以           5分
（2）因為AB∥CD，AQ=2AP，所以,由AB=,BP=2得,PC=6
為圓O的切線
又因為為圓O的切線            10分