Question

如圖，在△ABC中，∠B＝90°，以AB為直徑的圓O交AC于D，過點D作圓O的切線交BC于E，AE交圓O于點F.求證：

(1)E是BC的中點；
(2)AD·AC＝AE·AF.

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

(1)連結BD，因為AB為圓O的直徑，所以BD⊥AC.又∠B＝90°，所以CB切圓O于點B且ED切圓O于點D，因此EB＝ED，所以∠EBD＝∠EDB，∠CDE＋∠EDB＝90°＝∠EBD＋∠C，所以∠CDE＝∠C，得ED＝EC，因此EB＝EC，即E是BC的中點．
(2)連結BF，顯然BF是Rt△ABE斜邊上的高，可得△ABE∽△AFB，于是有，
即AB²＝AE·AF，同理可得AB²＝AD·AC，
所以AD·AC＝AE·AF.