Question

【題目】定義：對于任意，仍為數列中的項，則稱數列為“回歸數列”．

（1）己知()，判斷數列是否為“回歸數列”，并說明理由；

（2）若數列為“回歸數列”，，，且對于任意，均有成立．①求數列的通項公式；②求所有的正整數s，t，使得等式成立．

Answer 1

【答案】（1）不是“回歸數列”，說明見解析（2）①，②使得等式成立的所有的正整數s，的值是s＝1，t＝3

【解析】

（1）假設是“回歸數列”，則對任意，總存在，使成立，列出方程即可求解。

（2）①因為，所以，根據為“回歸數列”，得，可得以數列為等差數列，即可求解；

②由，求得，分類討論，根據數列的單調性，即可求解。

（1）假設是“回歸數列”

則對任意，總存在，使成立，

即，即，

此時等式左邊為奇數．右邊為偶數，不成立，所以假設不成立

所以不是“回歸數列”；

（2）①因為，所以，

所以且，

又因為為“回歸數列”，所以，

即，所以數列為等差數列.

又因為所以.

②因為，所以

因為，所以，

又因為，所以，

當時，式整理為，不成立，

當時，式整理為，

設，因為，

所以時，時，

所以，所以s無解

當時，式整理，因為，所以s＝1

綜合所述，使得等式成立的所有的正整數s，的值是s＝1，t＝3